jensen不等式，用Jensen不等式证明

本文目录一览

1，用Jensen不等式证明
2，琴生不等式的介绍
3，什么是jensen不等式
4，证明Jensen 不等式

1，用Jensen不等式证明

Jensen不等式及其应用http://dlib.cnki.net/kns50/detail.aspx?dbname=CJFD1993&filename=LDSZ199304003以助人为快乐之本。

很难啊。我也没工夫给你整啊。找老师把。楼上给了你不等式证明应用。估计你也会应用吧。是想要争取答案的吧。实话实说。在这里很难找到你要的答案啊百度知道不是万能的啊。

用Jensen不等式证明

2，琴生不等式的介绍

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

这个是什么东西?? 是琴生不等式对啊但是这个是什么??? 只对上凸函数成立,就是只对y=-x^2这类函数成立不对y=x^2这种下凸函数成立如果你要证明这个 ok, 使用定义证明设f为定义在区间i上的函数，若对i上的任意两点x1，x2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) 这个就是凸函数的定义,那么这个不等式就太容易证明了不是么??你要能看懂,口语化才容易懂~~~~

琴生不等式的介绍

3，什么是jensen不等式

（Jensen）不等式如果f(x)在(a,b)上是凸函数，x1，x2都在(a,b)上，证明不等式：f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立. 证明：证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立可以转化为证明f[(x1+x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1+x2)/2]成立.不妨设x1f(ξ2)，所以{f[(x1+x2)/2]-f(x1)}-{f(x2)-f[(x1+x2)/2]}=(x2-x1)[ f(ξ1)- f(ξ2)]/2>0,所以f[(x1+x2)/2]-f(x1)>f(x2)-f[(x1+x2)/2]，所以f[(x1+x2)/2]>1/2[f(x1)+f(x2)].如果假设x10,是凹函数，故有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2].

什么是jensen不等式

4，证明Jensen 不等式

若f为凹函数，即f<=0，且有a1+a2+a3+a4+……+an=1成立，则： f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+……+an*xn)>=a1*f(x1)+a2*f(x2)+……+an*xn 恒成立。证明：不是一般性，令xi<=x(i+1), (1)首先证明当n=2时，f[a1*x1+(1-a1)*x2]>=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立欲证上式成立，即证明[a1+(1-a1) ]*f[a1*x1+(1-a1)*x2] >=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立，移项并合并同类项后上式可变为： a1*{f[a1*x1+(1-a1)*x2]- f(x1)}>=(1-a1)*{ f(x2)- f[a1*x1+(1-a1)*x2]} （1）根据罗尔中值定理，有：[f(x)-f(x)]/(x-x)=f(y),x=<=x，因此(1)式可变为：a1*f(y1)*(a1-1)*(x1-x2)= (1-a1)*f(y1)*a1*(x2-x1)>=(1-a1)*f(y2)*a1*(x2-x1),其中y2>=y1。由f<=0可得，f(y1)>=f(y2)，因此（1）式成立。（注：麦克劳林展开只有在（x2-x1)趋于零时成立，因此，此处不能使用麦克劳林展开公式）。（2）证明n=2^k(k为正整数)时命题成立，首先证明n=4时原命题成立，则由（1）可得：（a1+a2）*f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]>=(a1+a2)*[a1/(a1+a2)f(x1)+a2/(a1+a2)*f(x2)] (2) （a3+a4）*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4]>=(a3+a4)*[a3/(a3+a4)f(x3)+a4/(a3+a4)*f(x4)] (3) 将上述（2）式与（3）式同时除以（a1+a2+a3+a4），再次利用（1）式可得： f[a1/(a1+a2+a3+a4)*x1+a2/( a1+a2+a3+a4)*x2+a3/( a1+a2+a3+a4)*x3+ a4/( a1+a2+a3+a4)*x4] >=(a1+a2)/(a1+a2+a3+a4)* f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]+ （a3+a4）/(a1+a2+a3+a4)*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4] (4) 由于a1+a2+a3+a4=1，因此（4）式左边部分即为f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4)，右边部分即为a1*f(x1)+a2*f(x2)+a3*f(x3)+a4*f(x4)，n=4时，命题得证。同理可从最底层开始运用公式（1）证明n=2^k(k<>1且k<>2)的情形依然成立。（3）当n<>2^k时，可将ai*xi分成m个部分，即m个ai/m*xi之和，使得n+(m-1)=2^k，再利用上式便可直接得到原命题。（4）当ai均趋向于0时，取其极限形式，便可证明f[E(x)]>=E[f(x)]，将f函数符号改为U符号，即得微观经济学中冯诺依曼期望效用的一个不等式。