二重积分的性质，二重积分的概念和性质

本文目录一览

1，二重积分的概念和性质
2，二重积分的性质
3，二重积分的概念与性质
4，求证二重积分的性质二fxydfxydfxyd
5，二重积分的概念与性质
6，高数二重积分

1，二重积分的概念和性质

2x^3和2sin(x/y)都是关于x的奇函数，积分结果为0原积分=∫∫7d〥=7S(圆环）=7*pi*(4-1)=21pi

二重积分的概念和性质

2，二重积分的性质

1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面 2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数二重积分的和(或差) 3二重积分对积分区域具有可加性

二重积分的性质

3，二重积分的概念与性质

f(x,y)=e^(x^2+y^2)cosxy由积分中值定理∫∫f(x,y)dxdy=S*f(a,b)=πr^2*f(a,b)S为圆域面积，(a,b)为圆域内某点，r趋近于0是时，(a,b)趋近于(0,0)原极限=f(0,0)=1

二重积分的概念与性质

4，求证二重积分的性质二fxydfxydfxyd

将二重积分都转化为环路积分。其中用∮表示积分区域为D的边界，∮1表示积分区域为D1的边界，∮2表示积分区域为D2的边界.用∮11和∮22分别表示∮1和∮2在D内部的部分，用∮10和∮20分别表示∮1和∮2的其余部分则∮=∮10 +∮20 =（∮1 -∮11）+（∮2 - ∮22）由于∮11和∮22在D的内部，故∮11 +∮22 的环路积分为0.因此∮=∮1 +∮2因此该性质成立

额

5，二重积分的概念与性质

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。编辑本段性质性质1 （积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2 （积分满足数成）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ性质6二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

6，高数二重积分

重积分1·二重积分（1）二重积分定义设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。（2）二重积分的性质性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ重积分1·二重积分（1）二重积分定义设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。（2）二重积分的性质性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。

化为极坐标， x^2+y^2 = 2y, 即 r = 2sint ; x^2+y^2 = 4y, 即 r = 4sint ;x = √3y 即 t = π/6 ; y = √3x 即 t = π/3 .I = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy = ∫<π/6, π/3>dt∫<2sint, 4sint> r^2 rdr= (1/4)∫<π/6, π/3>dt[r^4]<2sint, 4sint> = 60∫<π/6, π/3>(sint)^4dt= 15∫<π/6, π/3>(1-cos2t)^2dt = 15∫<π/6, π/3>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt= 15∫<π/6, π/3>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt= 15[3t/2 - sin2t + (1/8)sin4t]<π/6, π/3>= 15(π/2 - √3/2 - √3/16 - π/4 + √3/2 - √3/16)= 15(π/4 -√3/8)

设右端重积分的值为a 在等式两端再取区域d上的重积分有 a=∫∫(xy+a)dxdy=1/12+1/3*a 解得a=1/8 所以f(x,y)=xy+1/8

这是我的理解：二重积分和二次积分的区别二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。③可以二重积分不一定能二次积分。区域S=积分对调上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。可对调x,y的情况是连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况