二重积分定义，什么叫二重积分啊

本文目录一览

1，什么叫二重积分啊
2，二重积分的概念和性质
3，什么是二重积分
4，谁能用最通俗的语言给我解释一下数学中的二重积分它跟两次积
5，二重积分的概念与性质
6，高数二重积分

1，什么叫二重积分啊

就是∫∫，先积一次，再积一次，一般是∫∫F(x，y)dxdy

什么叫二重积分啊

2，二重积分的概念和性质

2x^3和2sin(x/y)都是关于x的奇函数，积分结果为0原积分=∫∫7d〥=7S(圆环）=7*pi*(4-1)=21pi

二重积分的概念和性质

3，什么是二重积分

被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面 2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数二重积分的和(或差) 3二重积分对积分区域具有可加性

什么是二重积分

4，谁能用最通俗的语言给我解释一下数学中的二重积分它跟两次积

二重积分通俗和形象的表达就是二元函数f(x,y)与其在积分区域D上投影所围成部分的体积和两次积分没有任何直接的关系但是二重积分通过化简可以表达成两个一元积分相乘的形式

一次积分是求面积，二重积分就是将bai面积再对高积du分，求体积（底面积乘以高），或者是求平面无厚度的薄片的质量（面zhi积求好了再对面密度积dao分，就是质量），总之抓住几何意义就能很快明白。比如二重积分再乘以密度（面积内乘以密度），就是物体的质量，也就是三重积分容。

一次积分是求面积，二重积分就是将面积再对高积分，求体积（底面积乘以高），或者是求平面无厚度的薄片的质量（面积求好了再对面密度积分，就是质量），总之抓住几何意义就能很快明白。比如二重积分再乘以密度（面积乘以密度），就是物体的质量，也就是三重积分。

5，二重积分的概念与性质

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。编辑本段性质性质1 （积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2 （积分满足数成）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ性质6二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

6，高数二重积分

重积分1·二重积分（1）二重积分定义设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。（2）二重积分的性质性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ重积分1·二重积分（1）二重积分定义设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。（2）二重积分的性质性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。

化为极坐标， x^2+y^2 = 2y, 即 r = 2sint ; x^2+y^2 = 4y, 即 r = 4sint ;x = √3y 即 t = π/6 ; y = √3x 即 t = π/3 .I = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy = ∫<π/6, π/3>dt∫<2sint, 4sint> r^2 rdr= (1/4)∫<π/6, π/3>dt[r^4]<2sint, 4sint> = 60∫<π/6, π/3>(sint)^4dt= 15∫<π/6, π/3>(1-cos2t)^2dt = 15∫<π/6, π/3>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt= 15∫<π/6, π/3>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt= 15[3t/2 - sin2t + (1/8)sin4t]<π/6, π/3>= 15(π/2 - √3/2 - √3/16 - π/4 + √3/2 - √3/16)= 15(π/4 -√3/8)

这是我的理解：二重积分和二次积分的区别二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。③可以二重积分不一定能二次积分。区域S=积分对调上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。可对调x,y的情况是连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况

设右端重积分的值为a 在等式两端再取区域d上的重积分有 a=∫∫(xy+a)dxdy=1/12+1/3*a 解得a=1/8 所以f(x,y)=xy+1/8