小波变换原理，谁能清楚地介绍一下小波变换啊

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1，谁能清楚地介绍一下小波变换啊
2，什么是小波contourlet变换
3，什么是小波变换
4，如何理解傅里叶变换和小波变换
5，小波变换的数学原理
6，连续小波变换的原理

1，谁能清楚地介绍一下小波变换啊

你知道傅立叶变换吧，傅立叶变换是把函数乘以e的-jwt再积分，小波变换是用函数本身再乘以一个函数再积分，被乘的这个函数像小波一样叫小波函数。对于图像经过小波变换后就把图像分成了高频部分和低频部分，高频反应变化尖锐的部分，低频反应大体效果，要是去噪的话就把高频部分再分成高频部分和低频部分，像2叉树那样分下去，分几级自己限制，最后把最底层的合在一起（这样中间产生的高频部分就被去掉了），从而实现去噪。就会这些了，建议到百度文库下篇文章看看，有的解释的很好。

谁能清楚地介绍一下小波变换啊

2，什么是小波contourlet变换

小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果

什么是小波contourlet变换

3，什么是小波变换

传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。http://baike.baidu.com/view/586841.htm

什么是小波变换

4，如何理解傅里叶变换和小波变换

首先本文不是要从艰深的数学基础出发来解释傅里叶或者小波变换，仅仅总结一下自己再理解傅里叶和小波变换时候的心得。傅里叶变换：1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期函数）向（无限周期函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。2）傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。4）从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数短时傅里叶变换：由上叙述可知傅里叶变换之后的图像仅包含频域信息，丢失了时域信息，在那些同时需要频域和时域信息的时候（在什么时候存在哪些频率）就显得无能为力，因此出现了短时傅里叶变换，短时傅里叶变换认为在一个小的时间段deltat内信号是稳定的，信号包含的频率是不变的，利用一个窗口函数与原始函数卷积，在特定的时间仅计算该时间前后共deltat时间内的信号的傅里叶变换作为该时间点的傅里叶变换，即该时刻的频谱。

5，小波变换的数学原理

小波分析理论小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领网域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到??名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年??名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对於其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用於非稳定信号的工具就是小波分析。事实上小波分析的应用领网域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用於数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高解析度等。 (1)小波分析用於信号与影像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与影像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基於小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波网域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用於边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘侦测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括电脑视觉、电脑图形学、曲线设计、湍流、远端宇宙的研究与生物医学方面。

6，连续小波变换的原理

1.1连续小波基函数所谓小波(wavelet)，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设ψ(t)为一平方可积函数，即ψ(t)∈L2(R)，若其傅里叶变换Ψ(ω)满足条件：则称ψ(t)为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可允许条件。根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可允许性条件可知Ψ(ω)|ω=0=0，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。下图为一个小波的例子。将小波母函数ψ(t)进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a，平移因子为τ，并记平移伸缩后的函数为ψa，r(t)，则：并称ψa，r(t)为参数为a和τ的小波基函数。由于a和τ均取连续变化的值，因此又称之为连续小波基函数，他们是由同一母函数ψ(t)经伸缩和平移后得到的一组函数系列。连续小波基函数的一个重要性质是窗口面积不随参数a、τ而变，它是小波母函数的时、频窗口宽度Δt和Δω的积。这正是海森堡测不准原理指出的：Δt、Δω的大小是互相制约的，乘积ΔtΔω≥1/2，并且仅当函数ψ(t)为高斯函数时等号成立。将不同a、τ值下的时、频域窗口绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平面，如下图。小波的这一性质是时频分析的重要依据。 1.2连续小波变换将L2(R)空间的任意函数f(t)在小波基下进行展开，称其为函数f(t)的连续小波变换CWT，变换式为式中：<·>表示内积运算。当所用小波的允许性条件成立时，其逆变换存在。其中Cψ即为ψ(t)的允许性条件。根据CWT的定义可知，小波变换同傅里叶变换一样，也是一种积分变换，称WTf(a，τ)为小波变换系数。由于小波基具有尺度和位移两个参数，因此将在小波基展开意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。而且由于小波基本身所具有的特点，函数投影到小波变换域后，有利于提取某些特征。与傅里叶变换不同，连续小波基函数构成了一组非正交的过度完全基。即任意函数的小波展开系数之间存在相关性。若用Kψ表示两个基函数ψ(a，τ)及ψ(a，τ)的相关性的大小，则： Kψ表征了连续尺度、时移为半平面(a，τ)上的两个不同点之间的CWT系数的相关性，也称之为再生核或重建核。

一般情况下，这个阈值函数的选取与噪声的方差是紧密相关的。通常情况下，现在论文中的噪声都是选用高斯白噪声。被噪声污染的信号=干净的信号+噪声，由于信号在空间上(或者时间域)是有一定连续性的，因此在小波域，有效信号所产生的小波系数其模值往往较大；而高斯白噪声在空间上(或者时间域)是没有连续性的，因此噪声经过小波变换，在小波阈仍然表现为很强的随机性，通常仍认为是高斯白噪的。那么就得到这样一个结论：在小波域，有效信号对应的系数很大，而噪声对应的系数很小。刚刚已经说了，噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪分布。如果在小波域，噪声的小波系数对应的方差为sigma，那么根据高斯分布的特性，绝大部分(99.99%)噪声系数都位于[-3*sigma，3*sigma]区间内。因此，只要将区间[-3*sigma，3*sigma]内的系数置零(这就是常用的硬阈值函数的作用)，就能最大程度抑制噪声的，同时只是稍微损伤有效信号。将经过阈值处理后的小波系数重构，就可以得到去噪后的信号。常用的软阈值函数，是为了解决硬阈值函数“一刀切”导致的影响(模小于3*sigma的小波系数全部切除，大于3*sigma全部保留，势必会在小波域产生突变，导致去噪后结果产生局部的抖动，类似于傅立叶变换中频域的阶跃会在时域产生拖尾)。软阈值函数将模小于3*sigma的小波系数全部置零，而将模大于3*sigma的做一个比较特殊的处理，大于3*sigma的小波系数统一减去3*sigma，小于-3*sigma的小波系数统一加3*sigma。经过软阈值函数的作用，小波系数在小波域就比较光滑了，因此用软阈值去噪得到的图象看起来很平滑，类似于冬天通过窗户看外面一样，像有层雾罩在图像上似的。比较硬阈值函数去噪和软阈值函数去噪：硬阈值函数去噪所得到的峰值信噪比(psnr)较高，但是有局部抖动的现象；软阈值函数去噪所得到的psnr不如硬阈值函数去噪，但是结果看起来很平滑，原因就是软阈值函数对小波系数进行了较大的 “社会主义改造”，小波系数改变很大。因此各种各样的阈值函数就出现了，其目的我认为就是要使大的系数保留，小的系数被剔出，而且在小波域系数过渡要平滑。还有的什么基于隐马尔科夫模型去噪，高斯混合尺度去噪(英文缩写好像是gsr,不好意思，记不大清楚了)和自适应阈值去噪等，也就是利用有效信号的小波系数和噪声的小波系数在小波域的分布特征不同等特征来进行有效信号的小波系数和噪声的小波系数在小波域的分离，然后重构得到去噪后的信号。说了这么多，忘了关键的一点，如何估计小波域噪声方差sigma的估计，这个很简单：把信号做小波变换，在每一个子带利用robust estimator估计就可以(可能高频带和低频带的方差不同)。 robust estimator就是将子带内的小波系数模按大小排列，然后取最中间那个，然后把最中间这个除以0.6745就得到噪声在某个子带内的方差sigma。利用这个sigma，然后选种阈值函数，就可以去去噪了~~