欧拉定理证明，欧拉定理的证明

本文目录一览

1，欧拉定理的证明
2，欧拉公式证明
3，欧拉公式怎么证明
4，欧拉公式的证明过程谁知道
5，多面体欧拉定理
6，欧拉定理怎么证明

1，欧拉定理的证明

定理证明计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为

相关问题 ? 欧拉定理的内容 - 2个回答 http://wenwen.soso.com/z/q8968621.htm?pid=w.xg.ll ? 什么是欧拉定理 - 1个回答 ? 为什么这个提问的地址是http://wenwen.soso.com/z/q23887679.htm?cid=q.s.y g.s.y？？？巧合啊？

欧拉定理的证明

2，欧拉公式证明

欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783)著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.著名的七座桥问题也是他解决的。他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。欧拉公式有两个：一个是关于多面体的：如凸多面体面数是F，顶点数是V，棱数是E，则V-E+F=2；这个2就称欧拉示性数。另一个是关于级数展开的：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，i的平方=-1。参考文献：以上各位的答案

高中数学书上阅读材料里有证明的，不过很麻烦，对于高中生不好理解。

欧拉公式证明

3，欧拉公式怎么证明

假设在任意凸多面体中放置一个点光源，以这个点光源为中心作一个单位球，凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影。那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可。然后将球面上的所有面剖分成三角形，剖分一个面时，任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉，这样剖分为三角形后，球面投影的面数和线数会增加，由于每1条线将1个面分成2个面，因而增加1条线也就增加了1个面，线和面增加的数目相同。假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F，那么进行三角剖分后，V不变，E和F增加的数目相同，因而F-E V的值保持不变。下面只证全部为球面三角形时F-E V=2。所有面全部为三角形时，由于每个面有3条边，而每条边又为2个面所共有，因而2E=3F，则F-E=-F/2，下面再证明V-F/2=2即可。每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成，因而所有三角形的内角总和为2∏V，一个球面三角形的面积为A B C-∏，则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F，而所有三角形面积之和为球面面积4∏，即得2∏V-∏F=4∏，等式两边除以2∏得：V-F/2=2，问题得证。

那是什么

欧拉公式怎么证明

4，欧拉公式的证明过程谁知道

用拓朴学方法证明欧拉公式尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设f，e和v分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么 f-e+v=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。证明：（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设f′，e′和v′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明f′-e′+v′=1。（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，f′和e′各增加1，而v′却不变，所以f′-e′+v′不变。因此当完全分割成三角形的时候，f′-e′+v′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△abc，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即ac，这样也就去掉了△abc。这样f′和e′各减去1而v′不变，所以f′-e′+v′也没有变。（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△def，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即df和ef，这样就去掉△def。这样f′减去1，e′减去2，v′减去1，因此f′-e′+v′仍没有变。（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此f′-e′+v′仍然没有变。即f′-e′+v′=1 成立，于是欧拉公式： f-e+v=2 得证。

这专业性太强啦

5，多面体欧拉定理

http://baike.baidu.com/view/1597961.htm 欧拉定理　　定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系　　V+F-E=2 　　公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 [编辑本段]定理的证明　　分析：以四面体ABCD为例。　　将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。　　只需平面图形证明：V+F1-E=1 　　（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变　　（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。　　在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，　　V+F1-E=2-0-1=1，　　所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。 [编辑本段]定理的意义　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；　　（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。　　（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。　　事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。　　（4）给出多面体分类方法：　　在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。　　除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，　　所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。 [编辑本段]欧拉定理又一证法　　如图（1）多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图（2）　　我们在两个图中求所有面的内角总和Σα 　　一方面，在图（1）中利用面求内角总和。　　设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，　　各面的内角总和为：　　Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800] 　　= (n1+n2+…+nF -2F) ?1800 　　=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1）　　另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)?1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)?3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)?1800。所以，多面体所有各面的内角和为：　　Σα = (V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800=（V-2）?3600. （2）　　由（1）（2）得　　(E-F) ?3600 =（V-2）?3600 　　所以 V+F-E=2. 　　简单多面体　　表面经过连续变形可以变为球面的多面体叫做简单多面体

V+E-F=2

6，欧拉定理怎么证明

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。参考资料： http://baike.baidu.com/view/48903.htm#4

欧拉公式简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系 v+f-e=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析v+f-e 先以简单的四面体abcd为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数v、棱数v与剩下的面数f1变形后都没有变。因此，要研究v、e和f关系，只需去掉一个面变为平面图形，证v+f1-e=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，v+f1-e不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，v+f1-e不变，直至只剩下一条棱。以上过程v+f1-e不变，v+f1-e=1，所以加上去掉的一个面，v+f-e =2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数v，面数f，棱数e。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有f个面，各面的边数为n1,n2，…，nf，各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有v个顶点中，有n个顶点在边上，v-n个顶点在中间。中间v-n个顶点处的内角和为(v-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（v-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =（v-2）·3600 所以 v+f-e=2.

不需要证明，记住会用就好了