gram矩阵，已知G为m阶实对称正定矩阵证明存在m个线性无关的量使得其Gram阵

来源：整理时间：2023-08-18 09:53:20 编辑：智能门户手机版

本文目录一览

1，已知G为m阶实对称正定矩阵证明存在m个线性无关的量使得其Gram阵
2，gram行列式
3，数学高等代数A是怎么来的格拉姆矩阵又是什么求高手详细解
4，什么是Gram矩阵
5，什么是Gram矩阵
6，欧几里德空间中关于内积函数的度量矩阵是怎么理解的

1，已知G为m阶实对称正定矩阵证明存在m个线性无关的量使得其Gram阵

G正定，则存在可逆阵P使得G=P^TP将P列分块得到一组线性无关的向量组a1,a2,……,am显然这组向量构成的Gram矩阵即为G

已知G为m阶实对称正定矩阵证明存在m个线性无关的量使得其Gram阵

2，gram行列式

对于向量e_1,...,e_m, 相应的Gram矩阵为G.任取列向量c=[c_1,...,c_m]^T, 有c^H*G*c=||c_1e_1+...+c_me_m||^2>=0,所以G半正定.若G奇异则取非零向量c使得Gc=0, 可得e_i线性相关.若e_i线性相关则取c使得c_1e_1+...+c_me_m=0, 那么c^H*G*c=0, 得到G不是正定的, 所以奇异.

gram行列式

3，数学高等代数A是怎么来的格拉姆矩阵又是什么求高手详细解

线性方程组的未知系数组成的矩阵，首先要确定d的值其恒定右侧的方程的行列式，以改变到基体中，所述第二列上的第一行...发现D1，D2 ...... X1 = D1 / D X2 = D2 / D ...

a是怎么来的我不知道，但是我知道格拉姆矩阵是怎么算的。且听慢慢道来。1.gram矩阵，也就是格拉姆矩阵，是这么定义的：一族向量a1,a2,..an的gram矩阵是内机的对称矩阵，其元素g_ij=. 注意，这里的<> 是计算内积的符号。好了，来个算例吧。就比如上面的这个a1=(1,1), a2=(1,2). gram=2*2维度的矩阵；第一个元素的值为g_11==1*1+1*1=2; 第一行第二列的元素g_12==1*1+2*1=3; 第二行第一列的元素g_21==1*1+1*2=3; 第二行第二列的元素g_21==1*1+2*2=5; 所以gram=(2 3 3 5) 备注：向量内积的求法为——=对应元素相乘再相加。内积的性质=. 谢谢！

数学高等代数A是怎么来的格拉姆矩阵又是什么求高手详细解

4，什么是Gram矩阵

格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。

在线性代数中,内积空间中一族向量格拉姆矩阵（gramian matrix 或 gram matrix, gramian）是内积的对称矩阵,其元素由 gij= (vi| vj)给出.一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零.格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（j?rgen pedersen gram）命名.例子最常见地,向量是欧几里得空间中元素,或 l空间中函数,比如紧区间[a, b] 上的连续函数（是 l（[a, b]）的子集）.给定区间 [t0,tf]上的实值函数 ,格拉姆矩阵g= [gij],由函数的标准内积给出：给定一个实矩阵 a,矩阵 aa是 a的列向量的格拉姆矩阵,而矩阵 aa是 a的行向量的格拉姆矩阵.对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式b,我们可对一组向量定义一个格拉姆矩阵 g为 .如果双线性形式 b对称则该格拉姆矩阵对称.

5，什么是Gram矩阵

在线性代数中,内积空间中一族向量格拉姆矩阵（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是内积的对称矩阵,其元素由 Gij= (vi| vj)给出.一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零.

在线性代数中，内积空间中一族向量格拉姆矩阵（gramian matrix 或 gram matrix, gramian）是内积的对称矩阵，其元素由 gij= (vi| vj)给出。一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（j?rgen pedersen gram）命名。例子最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 l空间中函数，比如紧区间[a, b] 上的连续函数（是 l（[a, b]）的子集）。给定区间 [t0,tf]上的实值函数，格拉姆矩阵g= [gij]，由函数的标准内积给出：给定一个实矩阵 a，矩阵 aa是 a的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 aa是 a的行向量的格拉姆矩阵。对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式b，我们可对一组向量定义一个格拉姆矩阵 g为。如果双线性形式 b对称则该格拉姆矩阵对称。转自百度百科

6，欧几里德空间中关于内积函数的度量矩阵是怎么理解的

知道了任意两个基向量的内基也就知道了度量矩阵，个人认为，之所以提出度量矩阵的概念其实是为了方便计算两向量的内基。因为只要基向量相同，计算内基只须将向量的坐标和度量矩阵两边相乘即可，有利于减少计算量。特别是对于大规模的矩阵运算很有意义！

设n1,n2,...nn,为欧式空间的一个基，把内积函数在基向量上的值写成矩阵形式，即（n1,n1）(n1,n2)... (n1,nn) (n2,n1) (n2,nn) M=(nn,n1) (nn,nn) 把M称为内积关于基n1,n2,...nn,的度量矩阵

设n1,n2,...nn,为欧式空间的一个基，把内积函数在基向量上的值写成矩阵形式，即（n1,n1） (n1,n2)... (n1,nn) (n2,n1) (n2,nn) M= (nn,n1) (nn,nn) 把M称为内积关于基n1,n2,...nn,的度量矩阵

首先你得理解基的作用。一般的向量是比较抽象和绝对的概念，引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）。在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了。这里的道理是一样的，用gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数。比如说e_1,e_2,...,e_n是v的一组基，若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y，记e=(e_1,e_2,...,e_n)，那么形式上就有a=ex，b=ey，而它们的内积恰好就是=(ey)^h*(ex)=y^h*g*x 这里g=e^h*e就是gram矩阵，跳过中间的形式推导，内积运算就转化到了矩阵乘法。当然，形式推导也可以严格化，一种方式是直接按分量来写，另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算。